Идея
Бенуа Мандельброт (1967): «Какова длина береговой линии Британии?» Ответ зависит от масштаба измерения — и не сходится. Береговая линия не одномерная кривая и не двумерная поверхность: её размерность дробная, около 1.25. Это фрактальная размерность.
Природа полна фракталов: папоротник (D ≈ 1.5), дерево (D ≈ 1.7–2.0), снежинка Коха (D = log4/log3 ≈ 1.26), лёгкие (D ≈ 2.97), кровеносная система (D ≈ 2.7), кора мозга (D ≈ 2.79).
Где это вылезает не в задачнике
Про береговую линию легко подумать, что это красивый парадокс для учебника. На деле та же трудность возникает в обычной научной работе — и ограничивает смысл вполне конкретного числа.
В 2010 году в PNAS вышла работа о перелёте полярной крачки. Одиннадцать птиц с геолокаторами, средняя дистанция за год — 70 900 километров, самый длинный прослеженный перелёт среди животных.
Число получают просто: прибор даёт точки, точки соединяют отрезками, длины складывают. И тут же авторы делают оговорку, которую легко пролистать:
оценки пройденного расстояния, а следовательно и скорости, зависели от фрактальной размерности траектории — то есть от длины шага при измерении, — и от значительных погрешностей геолокации, поэтому напрямую сравнивать их с прежними работами нельзя
Причина ровно та же, что у берега Британии. Берёте точки раз в сутки — получаете одно число. Раз в час — заметно большее, потому что проявятся все петли и зигзаги, которые грубый шаг срезал прямой. Уменьшая шаг, вы получаете всё большую длину.
У траектории птицы нет одной длины. Есть длина при заданном масштабе измерения.
Отсюда следует практическое: 70 900 км — не точка, а оценка при определённом шаге. Число честное, но без указания масштаба неполное. Авторы это понимают и потому отказываются мериться с предшественниками.
Обратите внимание, чем это отличается от обычной погрешности. Погрешность уменьшается, если мерить точнее. Здесь наоборот: чем точнее вы мерите, тем больше получается результат, и предела у этого роста нет.
Подробнее о самом перелёте — в статье Полярная крачка.
Метод подсчёта ящиков (Box Counting)
- Взять изображение объекта (фото береговой линии, папоротника, дерева)
- Наложить сетку с шагом ε
- Подсчитать число ящиков N(ε), содержащих часть объекта
- Уменьшить ε в 2 раза, повторить
- Построить log N(ε) vs. log(1/ε) → наклон прямой = фрактальная размерность D
Формула: D = lim [log N(ε) / log(1/ε)] при ε→0
Объекты для измерения
| Объект | Ожидаемая D | Как получить |
|---|---|---|
| Береговая линия (карта) | 1.2–1.3 | Контур берега из OpenStreetMap |
| Лист папоротника | 1.4–1.6 | Фото на контрастном фоне |
| Ветка дерева (зимой) | 1.6–1.9 | Фото без листьев |
| Снежинка | 1.2–1.3 | Фотомикроскоп или готовые фото |
| Молния | 1.3–1.4 | Фото грозы |
| Романеско (срез) | ~1.7 | Купить в магазине |
Инструменты
FractalCount (плагин ImageJ) — автоматический box counting по фото. Python (numpy + matplotlib): алгоритм в 30 строк кода — на сайте. Вручную: сетки разного масштаба, подсчёт клеток карандашом.
Вопросы для обсуждения
- «Какова длина береговой линии Британии?» — вопрос Мандельброта не имеет однозначного ответа. Что это говорит об ограничениях понятия «измерение»? Один живой пример разобран выше: длина перелёта полярной крачки зависит от того, как часто снимали координаты. Найдите ещё — где ещё привычное число на самом деле есть число при определённом масштабе?
- Романеско, папоротник, дерево, лёгкие — все фракталы в природе имеют предел самоподобия (клетка, молекула). Является ли это ограничение существенным для применимости понятия «фрактальная размерность»?
- Кора мозга имеет фрактальную размерность D ≈ 2.79 — почти поверхность. Это позволяет максимизировать площадь в ограниченном объёме черепа. Почему эволюция «выбрала» именно фрактальную геометрию, а не, например, более толстую кору?
- Box counting — простой метод, дающий точные результаты. Что было бы невозможно понять без этого инструмента? Как часто в науке «правильный метод» важнее «правильной теории»?
- Мандельброт спросил о береговой линии в 1967 году — через 15 лет после изобретения компьютеров. Почему идея фрактальной размерности не возникла раньше? Что мешало её увидеть?
- Возьмите на карте извилистую реку и измерьте её длину циркулем с раствором 2 см, затем 1 см, затем 5 мм, считая шаги. Постройте зависимость длины от раствора. Сходится ли она к чему-нибудь? Сравните с тем, что сказано в работе о крачке: там роль раствора циркуля играет частота съёма координат.