Голографический принцип: почему у чёрной дыры энтропия растёт как площадь

Откуда взялось слово

Оптическая голограмма — плоская пластинка, хранящая объёмную сцену. Информация о трёхмерном предмете записана на двумерной поверхности, и её оттуда можно достать целиком.

В 1990-е годы выяснилось, что нечто похожее, возможно, верно для физики в целом: описание того, что происходит внутри области пространства, умещается на её границе. Отсюда название — голографический принцип.

Сразу оговоримся: это аналогия по способу упаковки, а не утверждение, что Вселенная работает как фотопластинка. Никакого лазера, никакой интерференции. Общее только одно, зато главное: содержимое объёма кодируется на поверхности меньшей размерности.

Начнём с того, что твёрдо установлено, а закончим тем, что не доказано.

Твёрдый факт: энтропия растёт как площадь

Энтропия — мера числа микроскопических состояний, которыми может быть реализовано одно и то же макроскопическое. Проще: мера того, сколько информации нужно, чтобы описать систему во всех подробностях.

Для всего привычного энтропия растёт как объём. Удвойте размер комнаты по каждой оси — молекул станет в восемь раз больше, и энтропия вырастет примерно во столько же. Это очевидно настолько, что не обсуждается: содержимое живёт в объёме, значит, и счёт идёт по объёму.

В начале 1970-х Якоб Бекенштейн и Стивен Хокинг разобрались с энтропией чёрной дыры — и получили другое.

Энтропия чёрной дыры пропорциональна площади её горизонта, а не заключённому объёму.

Формула проста до неприличия: энтропия равна четверти площади горизонта, измеренной в планковских площадях — квадратиках со стороной около 1,6 × 10⁻³⁵ метра.

Удвойте радиус чёрной дыры. Объём вырастет в восемь раз, а энтропия — только в четыре.

Почему это странно

Чёрная дыра — не исключение из правил, а предел. Из общих соображений следует: если в области пространства собрать больше энтропии, чем помещается на чёрной дыре того же размера, область коллапсирует и станет чёрной дырой.

Значит, максимальная информация, которую вообще можно упаковать в область, определяется не её объёмом, а площадью поверхности.

Вдумайтесь. Комната большего размера вмещает больше вещей — по объёму. Но предельное количество информации в ней задаётся площадью стен. Как будто содержимое комнаты в принципе не может быть богаче того, что записано на её границе.

Из этого наблюдения и вырос принцип.

Посчитайте сами

Числа здесь доступны, и считать их полезно — абстракция сразу перестаёт быть абстракцией.

Возьмём чёрную дыру массой с Солнце. Её радиус горизонта — около 3 километров.

Площадь горизонта: сфера радиусом 2950 метров даёт около 1,1 × 10⁸ квадратных метров — примерно как территория крупного города.

Планковская площадь: квадрат планковской длины, около 2,6 × 10⁻⁷⁰ квадратного метра.

Делим: получаем около 4 × 10⁷⁷ планковских ячеек. С учётом коэффициента и перевода в биты выходит порядка 10⁷⁷ бит.

Для сравнения: всё, что человечество когда-либо записало на все носители, оценивается величиной порядка 10²³ бит. Разница — пятьдесят с лишним порядков.

И вот что стоит удержать: это число получено из площади. Объём в расчёт не вошёл вовсе.

Принцип

В 1993 году Герард ‘т Хоофт предложил обобщение: то, что верно для чёрной дыры, верно вообще. Леонард Сасскинд развил идею в 1995-м.

Формулировка: всё происходящее в области пространства может быть полностью описано теорией, живущей на границе этой области — в пространстве на одно измерение меньше.

Не «примерно описано» и не «частично». Полностью, без потери информации. Два описания — объёмное и граничное — считаются равноправными: это одна и та же физика, записанная двумя способами.

Аналогия с голограммой теперь понятна. Пластинка двумерна, сцена трёхмерна, а информация одна и та же.

Работающий пример — но не в нашей Вселенной

Принцип оставался бы красивой догадкой, если бы не 1997 год.

Хуан Малдасена нашёл конкретную пару: теорию гравитации в пятимерном пространстве и квантовую теорию поля без гравитации на его четырёхмерной границе, — и показал, что это два описания одного и того же. Соответствие получило название AdS/CFT. Работа стала одной из самых цитируемых в теоретической физике.

Здесь голография перестала быть предположением и стала вычислительным инструментом: трудную задачу в объёме можно перевести на границу, решить там и вернуть ответ.

И здесь же — оговорка, без которой всё сказанное превращается в неправду.

Пространство, для которого Малдасена доказал соответствие, — анти-де-ситтеровское: с отрицательной кривизной, замкнутое, как бы в бутылке с отражающими стенками.

Наша Вселенная устроена иначе. Измерения показывают положительную космологическую постоянную: расширение ускоряется, и геометрия ближе к де-ситтеровской — противоположный знак кривизны.

То есть у нас есть строго работающий пример голографии — во вселенной, которая не наша. Перенести конструкцию на реальную космологию пока не удалось: там, где в модели Малдасены есть удобная граница, в нашей Вселенной её нет, и куда «класть» граничную теорию — неясно.

Работы идут не первое десятилетие. Ответа нет.

Чего принцип не утверждает

Теперь про то, во что эта идея превратилась за пределами физики.

Из «голографического принципа» регулярно делают вывод: мы живём в иллюзии, наш мир — проекция, а настоящая реальность где-то на границе. Отсюда полшага до разговоров о симуляции.

Принцип этого не говорит. Разберём почему.

Дуальность — это не «настоящее и фальшивое». Когда две теории дуальны, они описывают одну и ту же физику. Ни одна не «истиннее». Это как декартовы и полярные координаты: точку можно задать парой чисел двумя способами, и вопрос «а какие координаты настоящие?» лишён смысла.

Проекция не делает предмет ненастоящим. Голограмма кодирует объём на плоскости, но предмет, с которого её сняли, от этого не перестал существовать.

Вы находитесь внутри, и это не иллюзия. Ваш стол не станет менее твёрдым оттого, что описание его атомов можно, возможно, переписать на далёкой границе. Твёрдость стола — предсказание обеих теорий.

И главное: для нашей Вселенной принцип не доказан. Строить мировоззрение на недоказанном утверждении о вселенной с другим знаком кривизны — не смелость, а поспешность.

Здесь стоит различать два разных сюжета, которые часто путают. Голографический принцип — рабочая гипотеза с одним доказанным частным случаем. «Мы живём в симуляции» — философское предположение, из физики не следующее и физикой пока не проверяемое.

🗺 Карта открытий

Что здесь на переднем крае

Три вещи разной степени надёжности, и их полезно держать раздельно.

Установлено: энтропия чёрной дыры считается по площади горизонта. Это следует из термодинамики и общей теории относительности, согласуется со всем, что мы знаем, и подтверждено расчётами с разных сторон.

Доказано в частном случае: голографическое соответствие работает для анти-де-ситтеровского пространства. Это математический результат, а не гипотеза.

Не установлено: применим ли принцип к нашей Вселенной. И связанный с этим вопрос — что происходит с информацией, упавшей в чёрную дыру. Спор Хокинга и Сасскинда об этом длился десятилетия; сегодня преобладает мнение, что информация не теряется, но полного механизма нет.

Ещё одно, редко проговариваемое. Планковская площадь, из которой всё считается, — величина, полученная комбинацией фундаментальных постоянных, а не измеренная. На таких масштабах не проверял никто и ничем. Всё построение опирается на предположение, что физика там ещё работает привычным образом.

Так что голографический принцип — хороший пример того, как выглядит передний край: твёрдое основание, один строгий результат в стороне от реальности, и большая неисследованная область между ними.

Читать дальше

→ Голограмма своими руками: та голография, которую можно записать на кухне, — и откуда взялось название → Голография: как это сделано: Габор, Денисюк и то, что называют голограммами незаконно → Постоянная Планка на светодиодах: измерить своими руками ту постоянную, из которой считается планковская длина → Спирали галактик: то, что мы действительно видим в небе