Вы поворачиваете телефон набок, и картинка на экране послушно переворачивается. Задержка — доли секунды, ошибок почти не бывает.
Чтобы так делать, устройству мало знать, где низ. Ему нужно знать поворот целиком: как именно оно повёрнуто относительно земли и куда смотрит каждое его ребро. Это не одно число и не два.
Внутри для этого работают три разных датчика, кремниевая механика размером с пылинку и математика, придуманная в 1843 году человеком, который не подозревал ни о каких телефонах.
Гироскоп, который не вращается
Первое, что стоит выбросить из головы: внутри телефона ничего не крутится. Волчка там нет, вращающегося маховика нет, подшипников нет.
Классический гироскоп удерживает направление за счёт момента импульса — раскрученное колесо сопротивляется попытке повернуть его ось. Об этом у нас отдельный опыт: гироскоп и прецессия. В телефоне работает другой принцип, хотя прибор по традиции называют тем же словом.
Там стоит кремниевый камертон. Две крошечные массы, вытравленные в кремнии, электростатическими гребёнками раскачиваются навстречу друг другу — как две ветви камертона. Пока телефон неподвижен, они ходят строго вдоль одной прямой.
Стоит телефон повернуть — и на движущиеся массы начинает действовать сила Кориолиса. Она возникает всегда, когда тело движется во вращающейся системе отсчёта, и направлена поперёк движения. Массы, качавшиеся вдоль одной оси, начинают понемногу отклоняться поперёк — причём тем сильнее, чем быстрее поворот.
Это отклонение и ловят: рядом с массами стоят гребёнчатые конденсаторы, где ёмкость меняется от малейшего сближения пластин. Смещения там ничтожные, поэтому конструкцию делают резонансной, с добротностью в десятки тысяч, — колебания раскачиваются до нужной величины и держатся почти без потерь.
Итог: датчик размером в доли миллиметра сообщает, с какой скоростью телефон поворачивается вокруг каждой из трёх осей.
Обратите внимание: не «как он повёрнут», а именно скорость. Разница окажется важной.
Три датчика, и каждый врёт по-своему
Одного гироскопа мало. У каждого датчика своя беда, и ни один не годится в одиночку.
Гироскоп даёт скорость поворота. Чтобы получить сам поворот, скорость надо накапливать — складывать все повороты с начала работы. И вот тут любая, самая мелкая систематическая ошибка складывается сама с собой тысячи раз в секунду. Показания медленно уползают, и через несколько минут телефон был бы уверен, что лежит боком. Зато на коротких временах гироскоп быстр и точен, и тряски не боится.
Акселерометр знает, где низ — он чувствует силу тяжести. Но он чувствует и любое другое ускорение, поэтому в едущем автобусе, в кармане на бегу или просто в дрожащей руке его «низ» пляшет. Зато он не уползает: сила тяжести никуда не денется.
Магнитометр указывает на север и тем задаёт поворот вокруг вертикали, которого сила тяжести дать не может. Но магнитное поле Земли слабое, а рядом с ним — динамик телефона, зарядка, арматура в стене, стальная дверь. В помещении он врёт постоянно.
Выход — сложить их так, чтобы ложь одного гасилась правдой другого. От гироскопа берут быстрое, от акселерометра и магнитометра — медленное. Гироскоп ведёт ориентацию мгновение за мгновением, а неспешное среднее по двум другим датчикам всё время подтягивает его обратно, не давая уползти. В простом виде это называют дополняющим фильтром, в более строгом — фильтром Калмана.
Почему на выходе четыре числа
Сведённую ориентацию надо где-то хранить. Казалось бы, естественно — тремя углами: крен, тангаж, рыскание. Так и делали десятилетиями.
Но у трёх углов есть четыре беды, и каждую можно потрогать руками в этой анимации. Коротко:
Шарнирный замок. При некоторых положениях две оси поворота совпадают, и три числа перестают задавать три независимых направления. На «Аполлоне-11» ориентацию держала карданова платформа из трёх рамок, и это была не абстракция: бортовая машина выдавала предупреждение при 70° и замораживала платформу при 85°, чтобы не потерять счёт. Через два часа после посадки на Луну Майкл Коллинз, уводя «Колумбию» от опасного положения, попросил Хьюстон прислать ему четвёртую рамку к Рождеству. Четвёртую рамку так и не поставили — сочли, что лишний вес и лишняя механика опаснее.
Рывок при плавном повороте. Если менять три угла равномерно, объект всё равно движется неравномерно: разгоняется и тормозит сам собой, а путь выходит длиннее кратчайшего.
Зависимость от порядка. Поворот на поворот не перестановочен, поэтому «крен 30, тангаж 40, рыскание 50» без указания порядка осей — не данные. Соглашений двенадцать.
Накопление ошибки. Матрицу поворота перемножают снова и снова, ошибка копится, и матрица перестаёт быть поворотом: она начинает потихоньку растягивать и перекашивать то, что поворачивает.
Кватернион — четыре числа вместо трёх углов или девяти чисел матрицы — снимает всё это разом. Выделенных осей у него нет, поэтому вырождаться нечему; переход между двумя ориентациями идёт по кратчайшей дуге с постоянной скоростью; а починка накопленной ошибки сводится к делению на длину — и после него это снова точный поворот, а не что-то похожее.
Своя ловушка есть и у него: один и тот же поворот записывается двумя способами, q и −q. Если взять не ту запись и не выбрать ближнюю, объект честно поедет длинной дорогой — на 283° вместо 77°. В анимации это отдельный флажок.
Поэтому и в Android, и в iOS ориентация, сведённая из трёх датчиков, отдаётся приложению кватернионом.
Опыт: убедиться, что порядок важен
Это можно проверить прямо сейчас, за минуту, с телефоном в руке. Никаких приборов не нужно — только внимание.
- Положите телефон на стол экраном вверх, верхним краем от себя. Запомните это как начальное положение.
- Поворот А: поднимите ближний к вам край и поставьте телефон вертикально, экраном к себе.
- Поворот Б: поверните телефон на четверть оборота вокруг вертикальной оси — вправо.
Запомните, куда теперь смотрит экран и где оказался верхний край.
Верните телефон в начальное положение и повторите те же самые два поворота в обратном порядке: сначала Б, потом А.
Телефон окажется повёрнут иначе. Углы те же, величина та же, порядок другой — результат другой.
Это не особенность телефона и не погрешность рук. Так устроены повороты в пространстве: они не перестановочны. Именно из-за этого Гамильтон десять лет не мог построить трёхмерные числа для поворотов — а построил четырёхмерные, отказавшись от перестановочности умножения. Подробнее — в статье о нереальных числах.
На плоскости, к слову, такой беды нет: два поворота вокруг одной точки можно делать в любом порядке. Поэтому для плоскости хватает обычных комплексных чисел, а для пространства — не хватает.
Как к этому пришли
1852. Леон Фуко строит прибор, чтобы показать вращение Земли: быстро раскрученный ротор в подвесе сохраняет направление оси, пока Земля поворачивается под ним. Он же даёт прибору имя — от греческих слов «круг» и «смотреть».
Начало XX века. Гироскоп становится навигационным прибором: гирокомпас указывает на истинный север, не завися от магнитного поля и стального корпуса корабля. Германн Аншютц-Кемпфе и Элмер Сперри доводят его до серийных изделий — и судятся за патенты. Немецкий суд приглашает нейтрального эксперта разобраться в технической сути; экспертом оказывается Альберт Эйнштейн. Дело в Германии выигрывает Аншютц, в США и Британии — Сперри, а Эйнштейн переписывается с Аншютцем-Кемпфе ещё десять лет, обсуждая устройство гирокомпасов.
1960-е. Инерциальная платформа на трёх рамках летит к Луне. Гироскопы держат направление, бортовая машина считает, где корабль, — и упирается в шарнирный замок.
1990-е. Кремниевая микромеханика позволяет вытравить камертон и гребёнки прямо в чипе. Гироскоп перестаёт быть точным прибором ценой в автомобиль и становится деталью за считанные рубли.
Сегодня. Он в каждом телефоне, в каждом квадрокоптере, в стабилизаторе камеры и в системе устойчивости автомобиля.
А поперёк всей этой линии идёт вторая, математическая. 1843 год: Уильям Роуэн Гамильтон, десять лет бившийся над числами для поворотов в пространстве, понимает, что нужно отказаться от перестановочности, и вырезает найденное соотношение на камне Брумского моста в Дублине. Применений у кватернионов тогда не было никаких — чистая алгебра, красивая и бесполезная.
Полтора века спустя они лежат в основе того, как ваш телефон понимает, что вы его перевернули.
Чего мы всё ещё не знаем
Гироскоп телефона измеряет поворот. Остаётся вопрос, на который у физики ответа нет: поворот относительно чего?
Прибор не смотрит ни на какие ориентиры — ни на звёзды, ни на магнитное поле, ни на стены комнаты. Он просто чувствует, что его поворачивают. Значит, есть нечто, относительно чего поворот определён сам по себе.
Ньютон называл это абсолютным пространством. Эрнст Мах возражал, что никакого пространства «самого по себе» нет, а отсчёт идёт относительно далёких масс Вселенной. Общая теория относительности дала третий ответ и предсказала, что вращающаяся Земля слегка увлекает за собой инерциальные системы отсчёта, — этот эффект действительно измерили гироскопами на спутнике. Но принципа Маха из неё не следует, и вопрос о происхождении инерции открыт до сих пор.
Подробнее об этом — в статье о гироскопе и прецессии.
Читать дальше
→ Гироскоп: почему велосипед не падает: настоящий волчок, момент импульса и прецессия — то, чего в телефоне как раз нет → Нереальные числа, описывающие реальность: откуда взялись кватернионы и почему на них остановилась не только техника → Маятник Фуко: тот же вопрос об отсчёте поворота, поставленный на семьдесят метров троса → Смартфон: как это сделано: что ещё спрятано в том же корпусе