Броуновское движение: Эйнштейн доказывает существование атомов

Идея

Брось каплю туши в стакан воды. Под микроскопом видно, как частицы туши не оседают и не плывут по прямой — они движутся хаотично, постоянно меняя направление.

Это броуновское движение: удары молекул воды, которые ты не видишь, заставляют видимую частицу метаться.

Роберт Броун описал это в 1827 году (наблюдал пыльцу папоротника). Долго думали, что это «жизненная сила» живых частиц — до тех пор, пока Броун не показал то же самое с толчёным стеклом.

Эйнштейн в 1905 году вывел формулу — и через неё доказал, что атомы существуют.

Физика: среднеквадратичное смещение

Эйнштейн показал, что среднее смещение частицы за время $t$:

$\langle x^2 \rangle = 2Dt$

где $D$ — коэффициент диффузии. Это закон Эйнштейна–Смолуховского.

Коэффициент диффузии связан с температурой и размером частицы (формула Стокса–Эйнштейна):

$D = \frac{k_B T}{6\pi \eta r}$

где:

• $k_B = 1{,}380 \times 10^{-23}$ Дж/К — постоянная Больцмана
• $T$ — температура в кельвинах
• $\eta$ — вязкость воды
• $r$ — радиус частицы

Отсюда:

$k_B = \frac{6\pi \eta r D}{T} = \frac{6\pi \eta r \langle x^2 \rangle}{2tT}$

Число Авогадро:

$N_A = \frac{R}{k_B}$

где $R = 8{,}314$ Дж/(моль·К) — универсальная газовая постоянная.

Оборудование

Вариант A: школьный микроскоп (минимальный)

Вариант B: USB-микроскоп + Python

Латексные сферы с известным диаметром убирают главную погрешность — неизвестный $r$.

Протокол опыта

Наблюдение

1. Разбавить тушь водой в пропорции ~1:1000 (слабо-серый раствор).
2. Нанести каплю на предметное стекло, накрыть покровным.
3. Найти частицы при ×400. Они должны быть примерно одного размера — изолированные, не слипшиеся.
4. Записать видео 2–5 минут. Кадровая частота 5–10 fps достаточна.

Анализ треков (Python + trackpy)

import trackpy as tp
import pims
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Загрузить видео
frames = pims.Video('brownian.mp4')

# Найти частицы на каждом кадре
f = tp.batch(frames, diameter=11, minmass=100)

# Связать треки
t = tp.link(f, search_range=15, memory=3)

# Отфильтровать короткие треки
t_filtered = tp.filter_stubs(t, threshold=30)

# Вычислить MSD (среднеквадратичное смещение)
msd = tp.msd(t_filtered, mpp=0.1, fps=5, max_lagtime=100)

# Построить график
plt.figure()
plt.plot(msd['lagt'], msd['msd'], 'o')
plt.xlabel('Время (с)')
plt.ylabel('MSD (мкм²)')
plt.show()

# Наклон прямой MSD(t) = 2D → D
slope = np.polyfit(msd['lagt'][:20], msd['msd'][:20], 1)[0]
D = slope / 2  # мкм²/с
print(f'D = {D:.3f} мкм²/с')

# Постоянная Больцмана
T = 293  # К (20°C)
eta = 1e-3  # Па·с (вода при 20°C)
r = 1e-6  # м (1 мкм частицы)
k_B = 6 * np.pi * eta * r * D * 1e-12 / T
print(f'k_B = {k_B:.3e} Дж/К')
print(f'Табличное: 1.380e-23 Дж/К')

Типичный результат: $k_B = (1{,}2 \div 1{,}8) \times 10^{-23}$ Дж/К. Погрешность 15–30%. Основные источники ошибки: неточный размер частиц, конвекционные потоки в препарате.

История: 1905 — год чудес, атомы и реальность

1905 год — Annus Mirabilis Эйнштейна. Четыре работы, каждая из которых изменила физику. Броуновское движение — одна из них.

Но за этим стоит более глубокая история. В конце XIX века атомная теория была под вопросом. Вильгельм Оствальд и Эрнст Мах — крупнейшие физики и химики эпохи — не верили в реальность атомов. Атомы для них были удобной математической моделью, не более.

Эйнштейн показал: если атомы реальны, броуновские частицы должны двигаться именно так, как наблюдается. Случайный блуждание с конкретной статистикой.

Жан Перрен в 1908–1909 годах экспериментально проверил теорию Эйнштейна и получил значение числа Авогадро: $N_A \approx 6{,}5 \times 10^{23}$. За это он получил Нобелевскую премию 1926 года.

После работ Перрена Оствальд публично признал: атомы реальны. Мах до конца своих дней оставался скептиком.

Связь с нарративной осью

Броуновское движение видно под микроскопом. Атомы — нет. Эйнштейн соединил видимое с невидимым через математику.

Это та же логика, что у Кавендиша: нельзя увидеть гравитационное притяжение лабораторных масс — но можно измерить угол поворота нити. Нельзя увидеть атом — но можно измерить случайное блуждание и вычислить $k_B$.

Вся физика — это перевод невидимого в измеримое.

→ Опыт Милликена: взвесить электрон каплей масла: атомы заряжены, и заряд тоже дискретен → Электрофизиология растений: нервная система без нервов: Боше измерял «невидимое» в живых тканях → Physarum polycephalum: интеллект без нейронов: случайное движение слизевика — тоже диффузия, но управляемая

Вопросы для обсуждения

1. Эрнст Мах до конца жизни не признавал реальность атомов, хотя формула Эйнштейна работала. Что значит «признать реальность» чего-то, что нельзя увидеть напрямую? Где граница между «моделью» и «реальным объектом»?

2. Жан Перрен получил число Авогадро $N_A \approx 6{,}5 \times 10^{23}$, что совпало с другими методами (электролиз, рентгеновская кристаллография). Почему совпадение нескольких независимых методов считается более весомым доказательством, чем один точный результат?

3. Броуновское движение — случайное. Но постоянная Больцмана $k_B$ — точное число. Как из случайного движения извлекается детерминированная константа? Что это говорит о природе случайности?

4. В опыте с туширующими частицами основная погрешность — неизвестный размер частиц. Что даёт монодисперсные латексные сферы с известным диаметром, и почему это фундаментально меняет природу эксперимента?

5. Боше измерял «невидимые» электрические сигналы в растениях. Эйнштейн — «невидимые» атомные удары. Оба переводили невидимое в измеримое косвенным путём. Чем этот подход отличается от прямого наблюдения, и какие у него ограничения?